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Überblick
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Symmetrieverhalten
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Sinus
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Satz(Antisymmetrie des Sinus)
Für alle 
gilt 
.
Beweis(Antisymmetrie des Sinus)
Sei . Mit der Definition durch die komplexe Exponentialfunktion berechnen wir:
Kosinus
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Satz(Symmetrie des Kosinus)
Für alle gilt 
.
Beweis(Symmetrie des Kosinus)
Sei . Mit der Definition durch die komplexe Exponentialfunktion berechnen wir:
Additionstheoreme
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Im Folgenden untersuchen wir die Additionstheoreme. Diese befassen sich mit 
beziehungsweise 
für 
. Veranschaulichen können wir uns diesen Satz, indem wir Sinus und Kosinus am Einheitskreis betrachten.
To-Do:
- Einführung schreiben
- Veranschaulichen durch Drehungen in der Ebene durch Drehmatrizen
- mit Bild
Satz(Additionstheoreme)
Für reelle Zahlen 
und 
gilt
Wie kommt man auf den Beweis?(Additionstheoreme)
Aus der Polardarstellung komplexer Zahlen wissen wir, dass für gilt 
.Dadurch können wir dann auch 
und 
in Abhängigkeit von 
darstellen. Nämlich als 
und als 
. Also können wir so auch und 
für betrachten.
Außerdem kann es nützlich sein, 
sowie 
für komplexe Zahlen 
zu betrachten.
Beweis(Additionstheoreme)
Zuerst betrachten wir zwei komplexe Zahlen . Dann gilt
Somit folgt
und 
Außerdem wissen wir, für gilt . Folglich gilt
, sowie
Seien nun und , dann gilt
Genauso folgt auch
Alternativer Beweis(Additionstheoreme)
Wir können den Satz ebenso beweisen, indem wir die rechte Seite explizit ausrechnen. Dafür nutzen wir die folgende Definition von und : Für gilt
und 
Seien nun und dann folgt
Trigonometrischer Pythagoras
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Wir wollen nun eine der wichtigsten Identitäten von Sinus und Kosinus betrachten.
To-Do:
- Einleitung schreiben
- anschaulich die Identität erklären
Satz(Trigonometrischer Pythagoras)
Für alle gilt
To-Do:
Wie kommt man auf den beweis
Beweis(Trigonometrischer Pythagoras)
Sei , dann gilt
Man kann den Satz ebenso beweisen, indem man Sinus und Kosinus mit der Exponentialfunktion ausdrückt und dann die linke Seite ausrechnet:
Alternativer Beweis(Trigonometrischer Pythagoras)
Sei . Wir nutzen nun folgenden Definitionen von Sinus und Kosinus:
und
Nun berechnen wir
Stetigkeit
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To-Do:
Stetigkeit von Sinus und Kosinus aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion folgern
Definition von 
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Im letzten Kapitel haben wir Sinus und Kosinus sowohl anschaulich als Funktion eines Winkels definiert, als auch analytisch über eine Reihe bzw. über die Exponentialfunktion.Wie du vielleicht noch aus der Schule weißt, wird bei der ersten Definition der Winkel im Bogenmaß gemessen. Zum Beispiel hat ein rechter Winkel die Größe 
,denn wenn man aus dem Einheitskreis einen Viertelkreis herausschneidet, hat dieser die Länge 
. Somit ist auch anschaulich klar, dass 
gilt.
Ein Grund der rein analytischen Definition von Sinus und Kosinus ist, die Werte der Sinus- und Kosinusfunktion mathematisch präzise festzulegen, ohne auf die geometrische Anschauung zurückgreifen zu müssen.Daher macht es Sinn, auch die berühmte Kreiszahl 
rein analytisch zu definieren. Die bekannte Definition von als Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises erweist sich nämlich in der Analysis als nicht geeignet zur strengen Beweisführung.
Die Idee ist nun, einfach so zu definieren, dass gilt. Genauer gesagt wollen wir festlegen, dass die kleinste positive Nullstelle des Kosinus sein soll ( ist dann das Doppelte davon). Damit diese Definition funktioniert, müssen wir aber erst beweisen, dass eine kleinste solche Nullstelle überhaupt existiert.
Satz
Die Funktion 
besitzt eine kleinste positive Nullstelle.
Zusammenfassung des Beweises
Wir müssen zuerst zeigen, dass es überhaupt positive Nullstellen gibt. Wir wissen ja, dass 
gilt. Es reicht also, eine positive Stelle zu finden, an der der Kosinus einen negativen Wert annimmt, denn aufgrund der Stetigkeit wird dann nach dem Zwischenwertsatz auch der Wert 
angenommen. Anschließend muss noch bewiesen werden, dass die Menge aller positiven Nullstellen ein Minimum hat. Dazu verwenden wir erneut die Stetigkeit.
Beweis
Es gilt 
, denn
Weil die Kosinusfunktion stetig ist und 
gilt, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein 
mit 
.
Sei 
die Menge aller positiven Nullstellen des Kosinus. Wir haben gerade 
gezeigt. Somit existiertdas Infimum 
. Wir wollen 
zeigen. Sei 
eine Folge in 
, die gegen 
konvergiert.Dann gilt
Hier wurde die Folgenstetigkeit von angewandt. Das Infimum ist also ebenfalls eine Nullstelle des Kosinus.Aber ist es auch eine positive Nullstelle? Da eine untere Schranke an ist und die kleinste untere Schranke ist, gilt 
.Doch 
ist unmöglich, da sonst 
wäre. Also ist 
und daher . Folglich ist das Minimum der Menge .
Jetzt können wir endlich definieren.
Definition(Kreiszahl )
Die Kreiszahl ist das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion. In Formeln:
Die Existenz dieses Minimums war gerade die Aussage des vorangegangenen Satzes. Aus dem Beweis dieses Satzes geht auch hervor, dass 
gilt. Wir haben also 
.
Qualitatives Verhalten der Kosinusfunktion
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Dass die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, hat eine Fülle von Aussagen über die Kosinusfunktion zur Folge, die es uns erlaubt, ein vollständiges Bild vom qualitativen Verhaltender Kosinusfunktion zu bekommen. Insbesondere werden wir zeigen, dass 
bijektiv und streng monoton fallend ist und dass die Funktionswerte auf ganz 
unmittelbaraus den Funktionswerten auf 
hervorgehen.
Verhalten auf
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Aus dem trigonometrischen Pythagoras folgt 
, also 
, sodass wir den Kosinus als Funktion 
auffassen können.Wäre 
für ein 
, so gäbe es wegen nach dem Zwischenwertsatz ein 
mit 
,doch das steht im Widerspruch dazu, dass die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist. Also können wir die Einschränkung des Kosinus auf das Intervall sogar als Funktion auffassen. Wir zeigen nun, dass diese Einschränkung bijektiv und streng monoton fallend ist.
Satz
Die Funktion ist bijektiv und streng monoton fallend.
Beweis
An den Intervallgrenzen wissen wir schon, was passiert: Es gelten und . Nach dem Zwischenwertsatz werden also zwischen und alle Werte aus 
angenommen. Damit ist bereits die Surjektivität gezeigt. Wenn wir noch zeigen, dass die Funktion streng monoton fallend ist, sind wir fertig, denn daraus folgt insbesondere die Injektivität.Seien also 
mit 
. Wir wollen 
zeigen. Wir führen die Zahlen 
und 
ein.Dann sind nämlich 
und wir haben 
sowie 
(damit ist 
). Mithilfe der Additionstheoreme berechnen wir nun
Falls 
und 
beide positiv oder beide negativ sind, folgt wie gewünscht 
.Andernfalls gilt 
oder 
. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also ein 
mit 
.Damit ist
Weil aber die kleinste positive Nullstelle der Kosinusfunktion, sprich die einzige Nullstelle im Bereich ist, muss gelten.Wegen 
ist demnach 
. Daraus folgt jedoch 
im Widerspruch zu .
Fortsetzung auf
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Wir stellen zunächst fest, dass sich aus folgender Zusammenhang ergibt, den man als eine Punktsymmetrie der Kosinusfunktion um die Stelle beschreiben könnte.
Satz
Für alle gilt
Beweis
Es gilt
Daraus folgt die Behauptung.
Indem wir in diesem Satz wählen, erkennen wir, dass die Einschränkung des Kosinus auf das Intervall 
eine Funktion 
darstellt, die erneut bijektiv und streng monoton fallend ist.
Insgesamt ergibt sich also:
Satz
Die Funktion 
ist bijektiv und streng monoton fallend.
Dieser Satz wird bei der Definition des Arkuskosinus eine wichtige Rolle spielen.
Fortsetzung auf
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Im Weiteren wird sich eine andere Formulierung des obigen Zusammenhangs als nützlich erweisen.
Satz
Für alle gilt
Beweis
Wir schreiben in obigem Satz 
anstelle von und erhalten
Zusammen mit folgt die Behauptung.
Indem wir nun 
wählen, sehen wir, dass auf dem Intervall 
die entsprechenden Werte auf dem Intervall 
lediglich gespiegelt werden.
Die Einschränkungen 
und 
sind also jeweils bijektiv und streng monoton steigend.
Fortsetzung auf
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Es stellt sich nun heraus, dass die Kosinusfunktion periodisch ist:
Satz
Für alle gilt
Beweis
Wir wenden den vorherigen Satz zweimal an und erhalten
Auf den Intervallen 
verhält sich der Kosinus also jeweils exakt so, wie wir es bereits für das Intervall 
untersucht haben.
Mit anderen Worten:
Satz
Für alle 
ist
- bijektiv und streng monoton fallend,
- bijektiv und streng monoton fallend,
- bijektiv und streng monoton steigend,
- bijektiv und streng monoton steigend.
Die folgende Grafik veranschaulicht noch einmal, wie sich alle Funktionswerte des Kosinus auf die Werte im Intervall zurückführen lassen.
Nullstellen, Maxima und Minima
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Der vorangegangene Satz erlaubt es uns zu bestimmen, wo die Nullstellen, Maxima und Minima liegen, also die Funktionswerte , 
und 
angenommen werden.
Satz
Für alle gilt
To-Do:
Bild, Beweis
Periodizität
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Wir haben bereits gezeigt, dass für alle gilt. Wir beweisen jetzt, dass 
die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft ist. Daher macht es Sinn, den Kosinus als -periodische Funktion zu bezeichnen.
Satz
Sei 
mit 
für alle . Dann gilt 
für ein 
.
Beweis
Wir setzen 
und erhalten 
. Somit gilt für ein . Wegen ist .
Alle möglichen Periodenlängen sind also Vielfache von , womit die kleinste Periodenlänge ist.
Qualitatives Verhalten der Sinusfunktion
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In diesem Abschnitt werden wir erkennen, dass die Sinusfunktion lediglich eine Verschiebung der Kosinusfunktion ist. Auf diese Weise lassen sich alle Eigenschaften der Kosinusfunktion aus dem vorherigen Abschnitt leichtauf die Sinusfunktion übertragen.
Funktionswert bei
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Wir überlegen uns zunächst, was 
ist. Da gilt, folgt aus dem trigonometrischen Pythagoras sofort 
.Es gilt also entweder 
oder 
. Um Letzteres auszuschließen, treffen wir für folgende Abschätzung:
Wir wissen ja, dass 
gilt. Somit ist 
und es folgt .
Zusammenhang zur Kosinusfunktion
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Satz
Für alle gilt
Beweis
Nach dem Additionstheorem gilt
Der Graph der Sinusfunktion (rot) entsteht also aus dem Graphen durch Kosinusfunktion (blau) durch eine Verschiebung um nach rechts.
Verhalten auf
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Da der Sinus nur ein verschobener Kosinus ist, können wir das qualitative Verhalten der Sinusfunktion auf ganz leicht bestimmen.
Satz
Die Sinusfunktion ist periodisch mit kleinstmöglicher Periodenlänge und für alle ist
- bijektiv und streng monoton steigend,
- bijektiv und streng monoton fallend,
- bijektiv und streng monoton fallend,
- bijektiv und streng monoton steigend.
To-Do:
Bild
Nullstellen, Maxima und Minima
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Ebenso leicht lässt sich die Bestimmung von Nullstellen, Maxima und Minima auf die Sinusfunktion übertragen, denn deren Lage verschiebt sich lediglich um nach rechts.
Satz
Für alle gilt
To-Do:
Bild
Ableitung und Integral
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Ableitung Sinus
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Satz(Ableitung vom Sinus)
Der Sinus ist differenzierbar, wobei für alle 
gilt:
Beweis(Ableitung vom Sinus)
Für ist
Ableitung Kosinus
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Satz(Ableitung des Kosinus)
Die Kosinus-Funktion ist ableitbar mit
Beweis(Ableitung des Kosinus)
Arkussinus und Arkuskosinus →
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